[문헌정보통계] 7. 상관

상관(Correlation)

두 개 이상 변수들 간의 관계

쌍의 측정치를 다루는 것. 두 자료가 서로 연관이 있는것으로 묶여있을때 상관개념을 논할 수 있음.

예) 성인 남성의 키와 몸무게: 상관계수 산출 가능. / 성인 남성의 키와 성인 여성의 몸무게: 두 자료가 연결이 안되므로 불가능.

상관계수(Coefficient of correlation): 두 변수들이 서로 관계되는 정도를 나타내는 지수. -1~1의 값을 가짐.

정적 상관관계: 한 변수가 클수록 다른 변수도 크고, 한 변수가 작을수록 다른 변수도 작은 경우

부적 상관관계: 한 변수가 클때 다른 변수는 작고, 한 변수가 작을때 다른 변수는 큰 경우

상관이 없는 경우: 두 변수가 아무 관계가 없을때, 마구 흩어져 있을때

상관계수는 강도(상관계수의 절대값. 1에 가까울수록 강한 상관)와 방향(+는 정적, -는 부적)을 표현한다.

상관계수는 두 변수의 변화율을 보여주는 기울기가 아니다!

상관계수의 종류

피어슨 상관계수(Pearson product moment correlation coefficient, r): 대부분 이 상관계수를 사용함.

Spearman rho, r_s: 등위상관계수. 순위가 매겨진 것들 간의 상관을 구할때 사용.

Biserial correlation coefficient

Point-biserial correlation coefficient

Tetrachoric correlation coefficient

Phi correlation coefficient

Contingency coefficient

상관계수의 해석

모든 상관관계를 인과관계로 해석할수 있는 것은 아니다.

A와 B가 상관이 있다고 해서 A가 B의 원인인가?

까마귀 날자 배 떨어진다 -> 배가 떨어진 원인이 까마귀가 난 것인가?

실제 사례: 머리카락 길이와 키는 부적 상관관계가 있음. 그러니깐 머리를 자르면 키가 커질까?

인과관계를 도출하기 위해서는 시간의 경과에 따른 관련성 증가 데이터가 필요함.

상관관계를 해석시 무엇과 무엇의 상관인지에 대해 여러가지를 고려해야하므로 획일적이고 일반적인 해석은 위험하다.

머리카락 길이와 키가 부적 상관관계가 있는 이유

예리하신 분은 눈치채셨겠지만, 남자들이 여자들보다 평균 키가 크고, 여자들이 남자들보다 평균 머리카락 길이가 길죠. 따라서 머리카락 길이와 키에 대해서 통계를 낸다면 부적 상관관계를 얻을 수 밖에 없습니다.

피어슨 상관계수

두 변수 X,Y에 대해 x_1~x_n, y_1~y_n까지 N쌍의 자료가 존재한다고 할때, 두 변수 간의 피어슨 상관계수는 다음과 같이 정의된다.

X와 Y의 공분산을 X,Y의 표준편차 s_x, s_y로 나눠준 값이다. 또한 다음과 같이 식을 변형하여, 편차만을 가지고 계산할수도 있다.

X_i의 편차를 x_i, Y_i의 편차를 y_i라고 쓰면 더 간략하게 쓸수도 있다.

두 변수 X와 Y를 평균과 표준편차를 이용해 Z점수로 변환하면 더 간단한 계산도 가능하다.

등위상관계수

서열척도, 등위척도를 포함하는 경우 사용한다. X변수에서의 등수와 Y변수에서의 등수가 주어졌을때 Spearman 등위상관계수는 다음과 같이 계산된다.

여기서 D는 두 변수에서의 등수 차이인 (X_i - Y_i)이다.

두 변수가 같은 순위를 보일 경우 그 값은 1이 되고, 정반대의 순위를 보일경우 -1이된다. 간단한 증명은 아래에

X, Y변수의 크기를 N이라고 하자. 그러면 X와 Y 각각의 멤바가 가질수 있는 순위는 1에서 N까지가 된다. 편의상

이라고 하자. 그렇지 않은 경우는 X_i, Y_i의 위치를 재배열하여 그렇게 만들수 있다.

이 전제에 따라 등위상관계수식은 다음과 같이 전개될 수 있다.

자, 먼저 X와 Y가 완전 정적 상관관계를 가지는 경우 X_i = Y_i여야 하므로 Y_i 역시 i와 같아야한다. 따라서 i-Y_i가 0이 되므로 전체 값은 1이 된다. 또한 오직 이때만 의 값이 최소가 되므로, 전체 값의 최대값은 1이 됨이 자명하다.

두번째로 X와 Y가 완전 부적 상관관계를 가지는 경우를 생각해보자. 이때 Y_i의 값은 X_i와 정반대여야한다. 즉 X_i=1일때 Y_i=N이고, X_i=N일떄, Y_i=1이되어야하므로 Y_i=N+1-i라고 할수 있다. 그러므로

정리하면 위와 같이 된다. 따라서

전체 값은 -1이 된다. 또한 오직 이때만 의 값이 최대가 되는 것은 자명하므로, 상관계수의 최솟값은 -1이 된다. 따라서 위 계산식은 두 순위 변수가 완전 정적 상관관계를 가질때 최댓값으로 1, 완전 부적 상관관계를 가질때 최솟값으로 -1을 가지므로, 상관계수로써 쓰일수 있다.

유의성 검증

위 방법대로 도출된 상관계수가 유의미한 값을 가지는지 판단하기 위함.

t 값은 n과 r이 커질수록 증가한다. 대체로 n이 클수록 상관계수는 유의미하므로 상관계수의 유의성에 집중하기보다는 얻어진 상관계수가 얼마나 유용한지를 살펴보는게 낫다.